Junio

CLASE # 14

Miércoles , 01 de Junio del 2016.

En esta clase se realizo el estudio de la temática EXPERIMENTO ESTADÍSTICO definido como un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés  .

Entre las características mas importantes a resaltar acerca del experimento estadístico se tiene:

• Se conocen los resultados posibles antes del experimento.
• No se puede predecir el resultado de cada ensayo.
• Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares.
• Se puede predecir un patrón durante el desarrollo del experimento.

 

Ejemplos claros de experimento son el lanzamiento de una moneda , dados , medir la estatura de una persona u observar la fabricación de un producto.

Otro concepto estudiado fue el correspondiente a :

ESPACIO MUESTRAL.-

Definido con la letra S , es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Según su caracteristica , los puntos muestrales determinan que S sea discreto o continuo.

Analizando ambos casos se concluye que:

• Si S es discreto sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales , ya sea de forma finita o infinita.
• Por otro lado si S es continuo sus resultados corresponden a un intervalo de numero reales , siendo S infinito por definición.

EVENTOS.-

Un evento se puede definir como un subconjunto del espacio muestral S , se denota con letras mayúsculas A , B ,...Z. Otra forma de denotarse es utilizando la letra E1, E2 ,E3 ,etc.

A continuación los tipos de eventos.-

SIGMA-ÁLGEBRA.-

CLASE # 15

Lunes , 06 de Junio del 2016.

En dicha clase , se realizo el estudio de parte de la temática relacionada a PROBABILIDAD DE EVENTOS y a su vez se definió lo mencionado como :

"Una medida de la certeza de su realización".
 A mas de esto se realizaron las siguientes consideraciones:

"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:

• P(A)=0 , es la certeza de que no se realizara.
• P(A)=1 , es la certeza de que si se realizara.
• P(A)=1/2 , indica que existe la posibilidad de que se realice o no se realice.

donde el triangulo tiene una probabilidad de 0 , las monedas de 1/2 y el dedo arriba de 1.

Adicional a esto , se definió  simbólicamente a la probabilidad de eventos con un breve ejemplo:

en donde;

•  "casos favorables" se denota como : N(A).
• "casos posibles" se representa como : N(S).

Como subtema de probabilidad de eventos se tiene : LA PROBABILIDAD DE EVENTOS SIMPLES, la cual se caracteriza porque incluye un solo punto muestral por lo que un evento cualquiera A de S puede considerarse como la unión de sus eventos simples.

Resumidamente se tiene:

Ademas se analizo algunos ejemplos para entender el concepto , entre ellos uno de los mas destacados continuación :

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS.-

Con la finalidad de facilitar la resolución de problemas y basándose en la definición de probabilidad , se definieron los siguientes axiomas descritos por medio de la siguiente imagen:

CLASE # 16

Miércoles , 08 de Junio del 2016.

En esta sesión de clases , estudiamos LAS PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS y mediante los axiomas ya establecidos se demostraron algunas , detalladas continuación:

Como aplicación de los axiomas y propiedades estudiadas se realizo el siguiente ejemplo de aplicación :

1. En una fabrica hay 5 motores de los cuales 3 están defectuosos. Calcule la probabilidad de que al elegir 2 motores al azar:

a) Ambos estén en buen estado.

b) Solamente 1 este en buen estado.

c) Al menos 1 este en buen estado.

a) Ambos estén en buen estado:

b) Solamente uno esté en buen estado.

c) Al menos 1 esté en buen estado.

A mas de lo estudiado se definió PROBABILIDAD CONDICIONAL como :

Como la probabilidad donde el evento A depende del evento B , es decir que gráficamente:

CLASE # 17

Lunes ,  13 de Junio del 2016.

EVENTOS INDEPENDIENTES:

''Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral definido como S. Se dice que A y B son independientes si P(A I B)=P(A) Y P(B I A)=P(B) , lo que significa que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del A''.
Por lo tanto de forma resumida se tiene que :

Ejemplo 1:

Ejemplo 2 :

En un club de amigos , 10 practican Tenis , 9 practican fútbol , 4 ambos deportes y los restantes 5 no practican algún deporte. Si se elige a una de estas personas al azar , calcule la probabilidad de que:

a) Practique Tenis o Fútbol.

b) No practique solo Tenis.

c) Practique Tenis pero Fútbol.

d) Practique Tenis dado que no practica Fútbol.

REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD:

Es aplicable siempre y cuando A Y B sean eventos no nulos del espacio muestral S.

Gráficamente se representa como :

Luego si se consideran 3 eventos (incluido un ejemplo) se tiene :

CLASE # 18

Miércoles ,  15 de Junio del 2016.

Previo a la realización examen , estudiamos el tema denomina PROBABILIDAD TOTAL que se caracteriza porque existen situaciones en los cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro correspondiente al mismo espacio muestral S .

Ademas se cumple que ;

entonces para la resolución de problemas;



A continuación algunos ejemplos demostrativos:

Ejemplo 1. Una empresa tiene tres personas para atender a sus clientes : Maria , Carmen y Beatriz. Se dispone de un registro histórico del porcentaje de quejas de los clientes atendidos por estas tres personas : 1% , 2% y 3% respectivamente. Cierto día acudieron 50 clientes a la empresa de los cuales 15 fueron atendidos por Maria , 10 por Carmen y 25 por Beatriz.
Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar de entre los que fueron atendidos ese día se queje por la atención recibida.



Ejemplo 2. La comisión de transito de Santo Domingo de los Tsachilas ha implantado un sistema de control de velocidad mediante un radar colocado en cuatro puntos de la ciudad ; X1 , X2 , X3 y X4.
Cada día estos aparatos están activos en los sitios indicados , 16 horas , 10 horas , 12 horas y 15 horas respectivamente en horarios al azar. Una persona maneja a su trabajo diariamente y lo hace con exceso de velocidad y la probabilidad de que pase por alguno de estos sitios es respectivamente 0,3 , 0,1 , 0,4 y 0,2.
a) Calcule la probabilidad que en algún día reciba una multa por exceso de velocidad.
b) Cierto día , recibió una multa por exceso de velocidad , determine el sitio en que hay la mayor probabilidad de haber sido multado.



 

CLASE # 19

Lunes ,  20 de Junio del 2016.

Al iniciar la clase , la profesora entrego los exámenes y realizo la corrección correspondiente.

Posterior a esto nos adentramos en el estudio de la temática de VARIABLES ALEATORIA DISCRETA cuyo objetivo es proporcionar reglas que nos permitan establecer correspondencias de los elementos del espacio muestral S con los números reales para luego asignarles un valor de probabilidad.

A continuación un ejemplo:

CLASE # 20

Miércoles ,  22 de Junio del 2016.

En esta clase se realizo el estudio de lo concerniente a la Distribución de la probabilidad de una variable aleatoria discreta , y se definió como la propiedad que posee una variable aleatoria para asociarse a un valor de probabilidad .
Generalizando , gráficamente se puede representar de la siguiente manera:

A continuación una tabla resumen de la teoría estudiada.




Ejemplo .-

CLASE # 21

Lunes ,  27 de Junio del 2016.

En esta clase se estudiaron aspectos relacionados a las variables aleatorias discretas , mas específicamente lo que concierne a LA MEDIA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Inicialmente se definió a la MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA como una medida estadística que describe la tendencia central de una variable aleatoria.

Simbólicamente se destacan los siguientes conceptos:

X: Variable aleatoria discreta.

f(x): Distribución de probabilidad de X.

u o E(x) :Media o valor esperado de la variable aleatoria X.

En base a lo descrito , la formula que se utiliza para calcular la media de una variable aleatoria discreta es la siguiente:

A continuación un ejemplo del tema detallado:

En lo que respecta a la VARIANZA , se define como una variable estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad , de los valores de la variable aleatoria alrededor de la media.

Para comprender su formula de calculo , se definen los siguientes términos :

X : Representa a una variable aleatoria discreta.

f(x) : Distribución de probabilidad.

u o E(x) : Media o valor esperado de la variable aleatoria.

Considerando lo mencionado , la varianza se define matemáticamente como :

A manera de ejemplo , se tiene el siguiente:

CLASE # 22

Miércoles ,  29 de Junio del 2016.

TEOREMA DE CHEBYSHEV:

Este teorema se caracteriza ya que establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media , independientemente de su función de probabilidad.

Formalmente , el TEOREMA DE CHEBYSHEV , se define de la siguiente manera :

"Sea X una variable aleatoria discreta con media u y varianza sigma al cuadrado , entonces la probabilidad de que X tome un valor dentro de K desviaciones estándar de su media , es al menos 1-1/K2 "

A continuación un ejemplo para entender lo definido :

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA:

DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME :

Una variable aleatoria discreta se dice que tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados obtenidos de su espacio muestral tiene igual probabilidad .

Para definir este tipo de probabilidad es necesario reconocer los siguientes términos :

X: Variable aleatoria discreta.
x: x1 , x2 , x3 ,x4 ,....,xn , Representan los n valores que puede tomar X con igual probabilidad , entonces matemáticamente , se puede definir la DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME como:

Respecto a la MEDIA Y VARIANZA de dicha distribución , se tienen las siguientes:

A continuación un ejemplo de la temática tratada:

Gráficamente los resultados se pueden expresar de la siguiente manera:

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI :

Se define como un experimento estadístico , en el que pueden haber únicamente dos resultados , ÉXITO y FRACASO.

La probabilidad de obtener éxito en cada ensayo se representa con la letra p , mientras que la probabilidad de obtener fracaso es el complemento del mismo , y se representa con la letra q que a su vez es igual a 1-p.

En términos matemáticos , podemos reconocer a la distribución de Bernoulli por medio de la siguiente expresión:

Gráficamente la distribución de Bernoulli se puede entender de la siguiente manera :

Ejemplo acerca de la distribución de Bernoulli :